这是一篇由两部分组成的连载文章的第一部分，介绍了一些基本概念，以便于你着手考虑低噪声设计。
要点
● 要将器件噪声、失真和干扰信号区分开来。它们各有自己的来源、预防措施和补救措施。
● 有源器件和电阻器都有多种噪声分布。要使自己熟悉各种噪声源，以及引起噪声的电路运行参数。
● 在许多应用系统中，信号的源阻抗可以确定评估噪声幅度的背景。
● 如果把一些可以换算的数值记忆在脑海里，你就可以随手对热噪声进行快速而准确的估算。
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噪声是许多信号处理系统的基本制约因素。同样，它是许多电子设计，特别是接口电路的主要制约条件。在测试与测量、医学成像和高速数据通信等方面的行业趋向都需要越来越高的信息密度。与此同时，半导体工艺的进步能实现更高的数据处理速度和功能密度，但却要降低工作电源电压，由此降低信号幅度。结果是，加大了系统设计对模拟前端噪声性能进行管理的压力。
系统地探讨像噪声这样繁杂的课题是件难办的事情，而且不是几页篇幅就可以说得清楚的。EDN 为了努力扩展这一讨论的范围，请几家在低噪声器件和电路设计方面具备专业知识的半导体制造厂提供相互关联的应用说明和技术文章。这些资源都能在 EDN 网站的模拟技术资源部分找到。这些相关信息的集合就可以作为进一步了解这一课题的动态信息来源。
如果你自己对这一课题进行研究，那你就会发现，许多文献资料把所有不需要的信号（来自外部的和存在于电路内部的）都归入噪声这一大类。但是设计师对外部和内部这类噪声采取的预防和补救措施则是大不相同的。你不能忽视任何一类噪声，但本文着重讨论信号路径内部的噪声源。也就是说，良好的低噪声系统设计需要充分考虑电路工作环境内的干扰。（见附文《外部因素》）。
随机事件，可预测的形状
电子元件通过不同的噪声源机制产生三种噪声谱的组合。各个噪声源项分别表示平带噪声、1/f 噪声或1/f2 噪声：
式中， pn(f) 是噪声源的功率谱密度——即中心频率为 f 的 1Hz 带宽的平均功率，c 是恒定幅度（参考文献 1）。
为了不与噪声谱的形状相混淆，给出的功率谱密度是一个单位为瓦/赫的函数，从而可以通过求某个带宽内的密度积分，计算出某一频带内的 rms 噪声功率：
然而，大多数有源电路都是将信号作为电流或电压来处理的。例如，双极晶体管是跨导器件：它产生的输出信号电流是与输入信号电压相对应的。为了能对信号和噪声进行快速比较，一般都用每根赫的电压或每根赫的电流来表示噪声谱密度。
在产生这三种常见噪声谱的机制中，最常见的机制产生平带（Flatband）噪声，也称白噪声，因为噪声功率是均匀地分配在整个频谱范围内，就像白光均匀分布在可见光谱范围内一样。平带噪声源产生散粒噪声（或叫肖特基噪声）和热噪声（也称约翰逊噪声，为的是纪念物理学家 John Bertrand Johnson 于 1928 年发现了这一现象）。虽然这两种噪声的频谱是难以区分的，但作为电路工作条件的函数，散粒噪声源和约翰逊噪声源的行为则是不同的。
散粒噪声无处不在
散粒噪声是由电子通过一个势垒的离散量子性质产生的。它通常与二极管和双极晶体管有关。电流可以按直流电大小给定的稳定平均速率通过一个PN结，但各个载流子只有当它们具有足够能量来克服PN结势垒时，才能作为随机事件穿过PN结（参考文献 2）。在极限情况下，电流被量子化为电子能级，所以平均电流就包含大量的离散事件。
散粒噪声计算公式如下：
其单位是安培均方根值，式中 q 为电子电荷(1.6×10-19C)，ID 为正向结电流， Δf 是测量带宽（图 1）。从式中可以看出，散粒噪声与结电流的平方根成正比，而与温度无关。这两点值得注意。增加偏置电流可能意味着绝对项中的散粒噪声会更高，但电路可以利用与偏置电流线性增长的关系——比噪声增加快得多——低噪声设计中的永恒命题。例如，双极晶体管的小信号互导 gm 是与集电极电流呈线性关系：
式中 IC 为集电极电流，k 为波尔兹曼常数(1.38×10-23J/K)，T 是绝对温度。
你只要将散粒噪声电流乘以动态结阻抗，还可以把散粒噪声表达为噪声电压。这种形式的散粒噪声似乎与温度有关，这是因为动态结阻抗——在双极晶体管情况下为跨导的倒数——是与温度成线性关系的。
还有一种散粒噪声与PN结反向漏电流有关，但在这种情况下，换算电流要比正向电流小几个数量级。因此，尽管你设计的电路中会有反向电流散粒噪声，但在大多数实际电路中，其它几种噪声源会将它淹没。
有热量
与由载流子通过势垒的传导行为产生的散粒噪声不同，约翰逊噪声则是由器件内的载流子随机运动产生的，其rms 噪声功率由如下公式导出：
式中，Δf 为测量带宽，单位为赫兹。这种噪声通常称为热噪声，因为载流子的运动是热激发的。约翰逊噪声在时域内呈高斯振幅分布，而且均匀分布在整个频段内。热噪声具备宽阔的频谱，并且其来源普遍存在，从而使它在许多系统中占据主导地位，压倒了其它各类噪声。
热载流子扰动只需要传导区域内有一群载流子参与。同样，你可以在有源器件和无源元件中观察到约翰逊噪声。电阻的热电压(en)是电阻、温度和测量带宽的函数：
单位是伏特均方根值，式中 R 为电阻，单位为Ω（图 2）。公式两边用电阻值除后即得诺顿等效噪声源：
单位是安培均方根值。
按 1Hz 带宽对 RMS 噪声电压和噪声电流进行归一化，即可得到频谱密度——分别为en 和 in。en 和 in的单位分别是V/ 和A/ 。根据通常设计的电路，要记住的常用参数就是一个 50Ω 电阻的电压噪声谱密度——大约为 0.9 nV/ ；或一个 1kΩ 电阻的谱密度——为4 nV/ 。由于噪声谱密度与电阻的平方根成正比，所以你就能很方便地换算出适合你电路的阻抗的en 和 in值。另外，只要注意到这个数值表示的是 1Hz 带宽的 均方根噪声，你也可以用同样的方法换算出适合于你电路的带宽，具体方法是在公式两边乘上带宽的平方根。表 1示出几种应用系统的各种特性阻抗的电压噪声谱密度。
这种快速计算噪声源均方根幅度值的能力有助于你识别出确定你电路性能极限的主要噪声源。如果几个噪声源的幅度相同，你就需要计算其总和（见附文《随机和》）。
与散粒噪声电流的情况一样，如果信号幅度增大比噪声更快，则增加噪声的绝对幅度就可以提高电路的性能。所以举例来说，如果你增加一个 gm-R 级中的负载电阻，则负载电阻的热噪声绝对值就增加，但该级的增益随 R 的增加而呈线性增大，而噪声却只随 R 的平方根增大。
如果你试图采用开关电容电路来使自己的电路完全摆脱电阻及其热噪声，则你也会发现与开关电容电路有关的热噪声项。电容本身不会产生噪声，但却可换算出电路其它部分产生的噪声项：
单位是V（均方根值），式中 C 为电容值（单位为法拉）。例如，由于热载流子的运动，电容上的电荷具有不确定性，这就类似于电阻中的热噪声。在开关电容电路中， kT/C 这一项会导致噪声性能一方与实现密度、信号带宽和功耗另一方之间折衷（参考文献 3）。
不那么闪烁
闪烁噪声出现在所有有源器件中，并与直流偏置电流有关：
式中 m 是一个与器件有关的因子，a 是一个数值为 0.5~ 2 的常数，b 是一个数值为 0.8 ~ 1.2 的常数（参考文献 4）。这一噪声项与频率成反比，因此它一般被称为 1/f 噪声。约翰逊于 1925 年在真空管中观察到了 1/f 噪声（参考文献 5）。虽然起源机制截然不同，但 1/f 噪声出现在半导体、金属薄膜、电解液中，还以非电子形式出现在机械和生物系统中。详细的噪声源机制尚不完全清楚；现在却有一些解释这一现象的模型。但一般来讲，半导体器件中的1/f 噪声是由晶体结构中杂质的缺陷引起的各种效应产生的。在 MOS 结构中，1/f 噪声与定期捕获和释放载流子的氧化物表面状态有关。几十年来，半导体工艺和制造方面的进步业已降低了其他器件中的闪烁噪声。
一个器件的 1/f 噪声超过其热噪声的频率是 1/f 转角频率。转角频率是工作条件（特别是温度和偏置电流）和制造工艺的函数。在“典型的”工作条件下，精密双极工艺的 1/f 转角频率最低：约为 1~10 Hz。用高频双极工艺制造的器件，其转角频率常常为 1~10 kHz。MOSFET 的1/f转角频率是沟道长度的倒数，典型值为 100 kHz~1MHz。以 III-V 族工艺制造的器件，如砷化镓 FET 和铟镓磷(InGaP)异质结双极晶体管(HBT)具有极宽的带宽，但 1/f 转角频率较高，大约为 100 MHz。
除了氧化物捕获以外，MOSFET 还具有产生/复合噪声现象，这是半导体中的一种载流子捕获现象，它会引起传导沟道内的载流子数量波动，从而使沟道电阻发生明显变化。这一机制会形成一种柯西频谱分布，有些文献也把它称为洛伦兹分布。
突发的噪声会产生两个位能状态间的波动。突发噪声的均方根幅度与电流成正比，并保持平稳不变，直到在转角频率点才以 1/f2 的速率下降。同一器件内，不同的突发噪声机制可能表现出不同的转角频率。突发噪声叠加在闪烁噪声上时，会使闪烁噪声原本平直的频谱斜率产生一些突起。闪烁噪声和突发噪声都不会产生高斯振幅分布，这就很难根据一小组测量值来可靠地推断噪声趋向。
你可以用以下方式与技术编辑 Joshua Israelsohn 联络：电话：(1)617-5584427；传真：(1)617-5584470；电子邮件：jisraelsohn@edn.com。
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参考文献
1. Liu, Shih-Chii, J?rg Kramer, Giacomo Indiveri, Tobias Delbrück, and Rodney Douglas, Analog VLSI: Circuits and Principles, 2002, Bradford Books, MIT Press, pg 314.
2. Gray, Paul R, and Robert G Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, Third Edition, 1993, John Wiley and Sons, pg 716.
3. Israelsohn, Joshua, "Pour your own programmable analog," EDN, June 12, 2003, pg 38.
4. Lundberg, Kent H, "Noise sources in bulk CMOS," http://web.mit.edu/klund/www/CMOSnoise.pdf.
5. Johnson, John B, "The Schottky effect in low frequency circuits," Physical Review, July 1925, pg 71.
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附文：随机和
一个电路的噪声性能是由各种噪声源的均方根振幅联合确定的。假设各种噪声源是非相关的，则它们的和就是：
由于某项噪声经常在 RMS 和中占据主导地位，通常在作噪声评估时，可以把该信号源的阻抗设为噪声背景。如果你的电路噪声主要来源是电阻器，那么可以将非电阻噪声源用等效的噪声电阻来表示，以进行快速的相互比较。例如，某放大器的输入噪声电压谱密度为 4 nV/ ，它可以代表的等效噪声电阻为大约 1 kΩ。在一个具有 50Ω 信号源的电路中，你可以马上确定：放大器噪声会在源阻抗的噪声中占主要地位。事实上，在本例中，忽略掉其它的噪声源，整体噪声谱密度只比放大器的噪声谱密度高出 01. nV/ 。你可以将这些噪声电阻直接加在一起：
总噪声就是：
使用上式中的数值代入，放大器的等效输入噪声电阻为 1 kΩ，源阻抗为 50Ω，则：
本文下篇：http://www.tmworld.com.cn/Cstmf/BCsy/AtcShow.asp?AID=2721
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噪声与低噪声设计的探讨(下篇) |
| 作者:Joshua Israelsohn，EDN技术编辑 |
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这是分上下篇连载的下篇，介绍了几个基本概念，使你能开始考虑如何进行低噪声设计。
要点
● 噪声源是不相关的，并可作为和的平方根来求和，这种假设通常是可靠的。相关噪声源可直接相加，但远不如不相关噪声源常用。
● 噪声带宽总是大于信号带宽。每当你在一个包括衰减的频谱内进行噪声测量和计算时，你必须考虑到这一差别。
● 在对电路进行噪声分析时要小心谨慎。噪声源可能出现在稀奇古怪的地方，因此很容易把一个给定噪声源和输出端之间的增益搞错。
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噪声过程会产生非相干信号， 而且总的来说，是在很宽的频率范围内——从系统的频率上限直至接近于直流——产生非相干信号。本文的上篇介绍了器件级的噪声源，叙述了它们的产生机制以及频谱特性（参考文献 1）。但低噪声设计不仅要考虑器件问题，还要考虑电路布局的多个方面。简单的器件组合可展现实际电路中噪声项是如何组合的。
设定界限
现以一只电阻器的热噪声电压 En 为例：
这一公式是由公式
推导出来的。
上述两个公式表明，任何非零电阻值产生的噪声电压幅度只受测量带宽的限制。换句话说，当测量带宽趋于无穷大时，一只电阻器的热噪声测量值也趋于无穷大。这种情况并不会在实际中出现，但其原因也许不是一看就明白的。
图1, 电阻器噪声模型包括寄生的并联电容。
一个简单的电阻器模型说明了这一原因（图 1）。这一物理电阻器模型包括一个与其热噪声电压 ER 串联的理想电阻值 R，和一个与R并联的寄生电容 C。电阻与其寄生电容的并联组合会限制噪声带宽。电阻增加一倍时，噪声密度会按2的平方根增加，但相同总噪声的噪声带宽则减半。这一观察结果的一个含意是：在没有另一带宽极限的情况下，电阻器模型中的并联电容将噪声极限设定为：
，
单位是伏特的均方（参考文献 2）。另一个含意是，在进行实际全带宽噪声测量时，由于信号带宽与噪声带宽的定义不同，必须考虑到设定测量带宽的滤波器边缘（附文《用变量代换方法得到结果》）。
获取增益
最常见的低噪声电路应用场合是模拟信号输入级。输入信号可以来自传感器、天线或其它低电平信号源，这些信号源需要较大增益才能进行下一步的处理或转换成数字信号。还有些信号源可以提供平均幅度相当大的信号，但却需要使用动态范围很大的处理电路。无论何种信号源，在给定温度下，信号源的阻抗都确定噪声的最小值——SNR（信噪比）仅仅从这个值开始下降。信号源阻抗和应用电路的动态范围是选择输入级的背景条件，因为输入级通常决定系统的噪声性能。
图2, 广义的增益单元模型包括放大器的以输入端为基准的电压噪声源和电流噪声源，以及一个与信号源阻抗相应的噪声电压。
现有考虑一个广义的增益单元，其输入阻抗为 ZI，电压增益为 AV（图 2）。噪声电压源 En 和噪声电流源 In 模拟以其输入节点为基准的放大器噪声。信号源有一个信号源阻抗 RS和噪声电压源 ER，ER代表信号源阻抗噪声和信号源送到放大器输入端的任何额外噪声。以输入端为基准的总噪声 Eni 可以表示为各个输入噪声项平方和再开平方根：
只要考虑到放大器的有限输入阻抗和电压增益的影响，就可以计算出以输出端为基准的总噪声。你总是想在设计初期计算出或至少估算出以输入端和输出端为基准的总噪声。这两个数值对评估不同的草图设计非常有用。以输入端为基准的噪声项，可以使你抛开已设定的输入阻抗或增益，对放大器进行比较。以输出端为基准的噪声项是该放大器送到下一级信号处理电路的噪声值，必须符合该级输入端的噪声要求。
产生差分
图3, 一个差分放大器可论证反馈放大器的噪声计算。
一个差分放大器可验证反馈放大器的噪声计算法（图 3）。如果你设定 R4/R3=R2/R1，则电路的传递函数为：
你只要将R3和 R4合并，并且调整 V2，就可以稍微简化噪声分析（图 4）：
图4, 完整的噪声模型包括 7 个噪声源和 2 个信号源。在计算与放大器输入噪声源项相关的增益时要特别小心。
为了便于比较各种候选放大器，你可以从噪声电压密度和噪声电流密度的角度进行分析，这与IC制造商制订其器件技术规范的方法相同。
由于噪声源难以与其它浮动信号源相区分，输出噪声的计算只需几个步骤就可以简单地完成。未经修正的噪声源可作为和方根(root-sum-square)项合在一起。从传统信号分析的角度看，某些噪声源会出现在不同寻常的地方，如果不进行仔细地评估各个信号源的增益，就可能会得出错误的结果。例如，尽管噪声源 en1连接到求和点上，但它是位于该求和点和不倒相输入端之间，所以它的增益为 G+1，其中 G=R2/R1。同样，不倒相输入端的噪声电流不会被分流，而是全部流经 R2。
记住这些问题后，就可以通过观测确定以输出端为基准的噪声 eno：
每个噪声电压源都有一个增益值：放大器输入噪声和 RP的增益为 G+1，R1的噪声为 G，R2的噪声为1。各个噪声电流都流经一个电阻，最终噪声电压在获得一个增益后出现在输出端。In1 流经 R2，并直接增大输出噪声。In2 流经 RP，并在获得不倒相增益 G+1 后对输出端噪声作出贡献。
一般来说，放大器数据表都没有给出每个输入端的独立输入噪声电压密度，而只给一个总值。除少数例外，IC放大器都使用平衡输入结构，这种结构往往在两个输入端产生相等的输入噪声幅度。要将放大器以输入端为基准的总电压噪声除以 2 ，并认为由此获得的商是 en1和en2产生的。其它模型包括一个输入噪声电压源，并将其接到放大器的一个输入端。这个输入端常常是不倒相输入端，这样可以简化图纸，并使适用于噪声源的正向增益一目了然。
适合各种应用的放大器
在过去，超低噪声运放都具有很低的转换速率、适中的增益带宽和很大的静态电流。但长期以来，业界的发展趋势一直在促使运放厂商开发更高性能器件。近几年来，DSP、微处理器和数据转换器的成本明显下降，而性能大大提高。数字信号处理的速度加快和分辨率提高，要求模拟前端的低噪声信号处理速度相应加快。这一关系在诸如医学成像、ATE 和无线通信等不同领域内是显而易见的。此外，通道带宽和通道密度也已提高，迫使设计师更加苛刻地压缩功率预算。
最新的成果给人深刻的印象：一大批放大器在过去的几个季度里进入市场。其中有 Analog Devices 公司生产的 AD8099（它也是被《EDN》杂志提名为本年度创新奖的 IC 之一），该器件是Analog Devices公司为雷达防撞系统、医疗超声信号处理系统、精密仪器等精密设备开发的。
AD8099 采用了一种新颖的前端设计，可以不必象传统设计那样要在低噪声和输入级线性度之间作出折衷。几十年来，运放设计师都在输入对管的射极通路中使用电阻器来减小第一级的跨导，并提高放大器在信号摆幅大（就运放来说，就是高于热电压大部分的部分——大约 26 mV）情况下的线性度。但不幸的是，电阻器会增加噪声，因此，大多数设计会在噪声、线性度和静态电流之间进行平衡。AD8099采用一种将噪声源置于共模路径而不是置于差模路径的方法来减少输入级跨导，从而改进了传统方法。
结果是：一个放大器在频率为 10 MHz、输出电压为2V p-p、增益为 2 时，具有 0.95 nV/的电压噪声和-90dB失真。在同样的工作条件下，售价为 1.98 美元（1000件批量）的 AD8099，其转换速率为600V/s；而增益带宽为 5 GHz，增益为 10 时，转换速率增大到 1600V/s。
AD8099 是第一款采用一种新输出引脚的放大器，Analog Devices公司提出采用这种输出引脚，为的是降低由于不倒相输入端与负电源引脚之间互感所产生的失真。新输出引脚还提供了两根输出脚：一根用作通向后面信号处理级的路径，另一根供放大器的反馈网络使用。第二根输出引脚可以简化电路板的布局，降低反馈寄生参数，从而提高放大器的稳定性。这种新运算放大器有两种封装形式：一种是 8 脚 LFCSP（引线框芯片级封装），其电感小，热特性极好；另一种则是传统的 8 脚 SOIC 封装。
德州仪器公司的 VCA8613 也是集成度很高的专用低噪声放大器的一个范例，这种8 通道可变增益放大器拟应用于要求通道数多、尺寸小、功耗低和噪声小的成像系统中。
VCA8613 的 8 个通道中每一个通道均包括一个带内置箝位二极管的 LNA（低噪声放大器）、一个压控衰减器、一个可编程增益放大器以及一个双端14MHz 输出滤波器。除了这一独特的时间增益控制通道外，8 个 LNA 还为一个 8×10 单端交叉点开关馈送信号，该开关可以通过一个串行接口编程，并可提供连续波形输出。8 个 LNA 均具有 70MHz 增益带宽，并在以时间增益控制模式工作时，在 5 MHz 频率下具有 1.2 nV/ 电压噪声，而以连续波模式工作时的电压噪声为 1.6 nV/ 。你可以对压控衰减器进行编程以设定0~29dB、0~33dB、0~36.5dB和0~40dB四种增益范围，并可对可编程放大器进行编程，以设定 21dB和26dB两种增益。
VCA8613 的每个放大器的平均功耗为 75 毫瓦，工作电压为 3V，售价为 25.40 美元（1000件批量）。德州仪器公司的这种8通道模拟前端采用TQFP-64封装。
凌特（Linear Technology）公司推出的电压噪声为0.95 nV/ 的满摆幅输入和输出运算放大器，有LT6200-10和LT6200-5两种型号，可用于医疗诊断、通信以及光电系统，LT6200-10具有1.6GHz 的增益带宽和450V/s的转换速率。它在增益为10或10 以上时工作稳定。LT6200-5 的增益带宽为LT6200-10的一半，转换速率也只有 250V/s，但却能在增益为 5时稳定工作。LT6200系列还有两种产品，即 LT6200型单运放和LT6201 型双运放。它们在增益为1时工作稳定，并具有165MHz的增益带宽。
LT6200 系列运算放大器在 1MHz 时的失真为-80dB。在直流端，放大器的漂移只有 1 mV。这些运算放大器可由2.5V~12.6V的单极性和双极性电源供电。它们的电源电压规定为3V、5V和±5V。单运放有 SOT-23-6和 SO-8 两种封装形式，售价从 1.50 美元起（1000件批量）。
Intersil 公司的 Elantec 部一直以高速放大器供应商而为业界所熟知，它生产一款电压噪声为 0.9 nV/ HZ 的放大器，其型号为 EL5132。EL5132可应用在仪器、通信与成像等系统中。EL5132 具有 6.7GHz的增益带宽，能在增益为 10时稳定工作。该放大器的转换速率为 1 kV/s。
EL5132 吸收 11 mA电流，可由单极性或双极性电压源供电，电源电压为 5~12V。其单价为 1.05 美元（1000件批量）。它带有一个启动脚，采用 SO-8 封装。它的姊妹产品 EL5133 没有启动脚，从而采用SOT-23-5封装。
美国国家半导体公司的 LMH6624 型和 LMH6626 型分别是单低噪声运算放大器和双低噪声运算放大器，两者的典型电压噪声测量值为 0.92nV/ HZ 。LMH6624和LMH6626分别具有1.5GHz 和 1.3GHz 的增益带宽，并在增益为10时分别具有360 V/s和 340V/s 的转换速率。两种产品在 10 MHz 频率下，在驱动 100Ω时的二次和三次谐波失真值分别为-63 dBc 和-80 dBc。
LMH6624 和 LMH6626 均可由 5~12V的单极性或双极性电源供电，售价分别为 1.67 美元和 1.99 美元（1000件批量）。每个放大器的吸收电流在室温下最大为 16mA，而在-40℃~+125℃工作温度范围内最高为 18mA。LMH6624采用SOT-23-5 和 SO-8封装，LMH6626 采用MSOP-8封装。
以上介绍的只是这些厂商提供的许多超低噪声放大器的几个实例。要了解这些制造商相关产品系列中的其他器件的情况，请访问这些公司的网站，并请继续关注本栏目，以获得有关低噪声模拟IC未来发展的更多信息。
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欲了解更多信息...
如果想了解本文讨论产品的更详细信息，请直接与下列厂家联络，并请告诉他们你从 EDN China上了解到他们的产品。
Analog Devices
www.analog.com
Intersil/Elantec
www.intersil.com
Linear Technology
www.linear.com
National Semiconductor
www.national.com
Texas Instruments
www.ti.com
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参考文献
1. Israelsohn, Joshua, "Noise 101," EDN, Jan 8, 2004, pg 41,
2. Motchenbacher, CD and JA Connelly, Low-Noise Electronic System Design, Wiley, 1993.
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附文一：用变量代换方法得到结果
在大多数工程的讨论中，“带宽”这个词带有“-dB”的隐含约定。按照惯例，在大多数应用中，信号的带宽由半功率点来定义。
比较而言，噪声带宽 Δf 则覆盖了实际功率曲线中的一块长方形频谱范围。在多数情况下，表现这些电路特性的是电压增益，而不是功率增益。因此，为简单起见，可以把噪声带宽公式用电压增益来表示：
 公式 A 式中 Av(f) 为电压增益，Avo 为最高增益。由于积分超出了-dB 频率，所以噪声带宽总是大于信号带宽。
一个归一化的单端低通网络是一个好范例：
 公式 B
式中，fc 为-dB 拐角频率。作为频率函数的电压增益大小为：
 公式C
噪声带宽为
 公式 D
对无穷大求积分是件很费时间的事，大多数工程师希望能有个快速答案。近似的方法可以有许多种，但最好能有个精确圆满的解法，因为我们缺少一种对近似解法残留误差进行评价的好方法。一个替代方法是作变量代换，这样只需几步就能产生一个精确的解法（参考文献 A）：
 公式 E
现在的积分区间为 0～π/2。将变量代换法应用于公式 D，则可得：
 公式 F
由于公认 sec2θ=1+tan2θ 这一三角等式，公式 F 可简化为
 公式 G
所以，一个单端系统的噪声带宽是它信号带宽的 π/2 倍。这种变量代换的方法也可以用于其它滤波器。例如，你可以将两个相同的端点连接到一个缓冲器，以防止相互影响（图 A）。
图A, 一对相同的端点配上一个防加载的缓冲器，就可演示如何计算噪声带宽，以及噪声带宽与信号带宽之比。
这一滤波器的增益函数为：
 公式 H
将这一种情况与单端情况相比较，即知这一滤波器的噪声带宽为：
 公式 I
相同的变量代换可得到这一电路结构的精确解。
 公式 J
但是一定要记住此处的 fc 为单个端子的-dB 拐角频率，而不是整个滤波器的-3dB拐角频率。再进行两步计算，就可以根据各个端计算出系统带宽 fs，再根据系统带宽计算出噪声带宽：
 公式 K
将公式 J 与公式 K 合并，则有，
 公式 L
当在工作台上进行噪声测量时，应该注意到被测系统、测试设备以及处于两者间的其它接口电路的衰减特性。要了解哪个设备决定观测到的带宽以及它的衰减形状，这样才能正确地计算测得的噪声带宽。要保证你装置其它部件的衰减特性频率要大大高于决定被测频谱的部件。并且，作为一部分，还要考虑测试设备和接口电路的基底噪声。
参考文献
A. Motchenbacher, CD and JA Connelly, Low-Noise Electronic System Design, Wiley, 1993.
附文二：慢速噪声并非低噪声
通常在工程师们讨论甚低频率噪声现象时，全都会用到 1/f 噪声。虽然1/f噪声机理存在在各种可观察到的现象中，但在半导体器件中， 1/f 噪声起源于晶体的缺陷和表面状态（参考文献 A和B）。消除 1/f 噪声的电路技术实质上只是在给系统传递函数上增加一个零，这对非基带应用来说是有效的。但对接近直流的信号频谱，一个传递函数零会产生长的起动延迟，并会严重破坏不对称输入。或许具有讽刺意味的是，漂移问题更容易解决，但设计师在研究噪声问题时经常忽略飘移问题（参考文献 C）。而对许多应用来说，一种详细的系统传递函数误差分析方法把漂移当作一个低频噪声项。例如，用 PTAT（与绝对温度成比例的）电流源可给必须工作于固定跨导的双极输入级施加偏压。当结温变化时，输入偏置电流也会发生变化。如果在设计输入电路时使不倒相和倒相节点有相同的阻抗，就可以抵消偏置电压引起的偏置电流及其漂移。即使你最喜爱的系统在直流附近没有重要信号能量，偏移也会引起严重的性能问题。例如，某些成像系统和音频处理系统要处理大动态范围信号，要做到这点就要使用可变增益的放大器。有些电路使用离散选择的增益调节步骤来进行增益粗调。当这类放大器在有输入偏移状态下切换增益时，将产生一个 VosΔG 的输出摆动。在转换期间输出信号包含了带内信息，一般把这叫做拉链噪声，对音频系统来说，这种噪声是音频系统在多个离散步骤快速切换所产生的。
参考文献
A. Lundberg, Kent H, "Noise sources in bulk CMOS," http://web.mit.edu/klund/www/CMOSnoise.pdf.
B. Israelsohn, Joshua, "Noise 101," EDN, Jan 8, 2004, pg 41.
C. Williams, Jim, Linear Technology, interview, November 2003.
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